Күйреу қаупі
Мақсатқа жетпей тұрып бүкіл ойын қорын жоғалту ықтималдығы.
Тең төлемді бәстерде күйреу қаупі ойыншының күйреуі формуласына бағынады. Ойын қоры $500, бәс $10 және мақсат $600 болса, сіз шамамен 57% жағдайда мақсатқа жетесіз, ал қалғанында күйрейсіз.
Сұрақ
Сізде бірлікақшаБірлікЖүйе не ойыншы жұмыс істейтін негізгі бәс сомасы. Прогрессиялар кез келген үстелде қолданылуы үшін бірліктермен сипатталады.Толығын оқу → есебімен өлшенген ойын қорыақшаОйын қорыОйынға арнап бөлінген жалпы сома. Ойын қорын басқару — оның бір бәске және бір сессияға қанша бөлігін қатерге тігуді шешу.Толығын оқу → бар және a + b бірлікке жетуді қалайсыз; ол үшін тең төлемді бәскебәсТең төлемді бәсҚызыл/қара, тақ/жұп, жоғары/төмен. 18 нөмір, 1:1 төлейді.Толығын оқу → бір-бір бірліктен тігесіз, мұнда ұту ықтималдығыматематикаЫқтималдықНәтиженің мүмкіндігі; 0-ден 1-ге дейін не 0%-дан 100%-ға дейін. Бір нөмір: 1/37 = 2,70%.Толығын оқу → p = 18/37, ал ұтылу ықтималдығы q = 19/37. Нөлге жетпей тұрып мақсатқа жету ықтималдығы қандай? Жауапты Паскаль, Ферма және Гюйгенс 1650-жылдары шығарған, ол ықтималдық теориясындағы ең көне нәтижелердің бірі.
Ойыншының күйреуі формуласы
P(мақсатқа жету) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Күйреу қаупіматематикаКүйреу қаупіМақсатқа не айналым санына жетпей тұрып ойын қорының бәрін жоғалту ықтималдығы.Толығын оқу → — осы шаманы бірден азайтқанға тең. q/p = 19/18 ≈ 1,0556 болғанда, қатынас бірліктер санына қарай экспоненциалды өседі, сондықтан формула шағын бірліктерді қатаң жазалайды: мақсатқа жету үшін неғұрлым көп бәс қажет болса, жолай 2,70% алым соғұрлым көп төленеді.
Мұны түсіну
Шағын бірліктер зиянды. $500-ді $10 бәстермен екі есе көбейту әрекеті 6% жағдайда сәтті болады; бір ғана $500 бәспен — 48,6% жағдайда. Теріс күтілетін ойында батыл ойнау, яғни аз әрі ірі бәстер қою, мақсатқа жету мүмкіндігін барынша арттырады, өйткені казино артықшылығы қолданылатын реттер санын азайтады. Сонымен бірге ол нәтижелеріңіздің дисперсиясынматематикаДисперсияНәтижелердің күтілетін мәннен қаншалықты кең таралатынын өлшеу. Бір нөмірлік бәсте жоғары, тең төлемді бәстерде төмен.Толығын оқу → ұлғайтады және кешті тез аяқтайды. Теорема «батыл ойнау оңтайлы» деп аталады, оны 1965 жылы Дубинс пен Сэвидж дәлелдеген.
Есептің бастау көзі
Бұл сұрақ рулеткадан да ескі. 1656 жылы Паскаль Фермаға мынадай жұмбақ ұсынды: екі ойыншы үш сүйек лақтырады, әрқайсысы 12 жетоннан бастайды; 11 түсуі жетонды бір бағытқа, 14 түсуі екінші бағытқа жылжытады. Екеуі де оны шешті, ал математик Пьер де Каркавиден хат арқылы естіген Гюйгенс 1657 жылы оны ықтималдық туралы алғашқы кітаптың бесінші есебі ретінде, жауабымен, бірақ дәлелсіз басып шығарды. Он бір 27 тәсілмен, ал он төрт небәрі 15 тәсілмен түсе алады, сондықтан әр жетон 14 жағдайдың 9-ында бірінші ойыншы жағына жылжиды; жоғарыдағы формула, әрқайсысында 12 жетон болғанда, оның бәрін ұтып алу ықтималдығын бәрін жоғалтудан шамамен 1 157 есе жоғары етеді. 2,70% артықшылық әлдеқайда кіші, бірақ сол формула оның көп бәс бойындағы әсерін көрсетеді.
Нағыз батыл бәс
2004 жылғы сәуірде жас ағылшын Эшли Ревелл киімін қоса алғанда, иеленгенінің бәрін дерлік сатып, Лас-Вегастағы Plaza казиносына $135 300 әкелді. Бірнеше шағын бәстен кейін ол бүкіл соманы бір рет қызылғабәсҚызыл18 қызыл нөмірге тең төлемді бәс. Французша: rouge.Толығын оқу → тікті. ШаржабдықШарРоторға қарсы шар жолымен жіберілетін кішкентай шар. Заманауи шарлар ивориннен не тефлоннан жасалады, 18–21 мм.Толығын оқу → қызыл 7-ге түсіп, ол $270 600 алып шықты. Қос нөлідөңгелекНөлТең төлемді, дюжина не баған бәстерінің ешқайсысы жаппайтын жалғыз жасыл ұяшық; казино артықшылығының көзі. Сондай-ақ: бір нөл, 0.Толығын оқу → бар дөңгелекте сол бір айналымның ықтималдығы 47,37% еді және ол бір бәстегі 5,26% артықшылыққа сай оған орташа есеппен $7 121 тұрды. Дәл сол мақсатты $10 бәстерге бөліп тігу іс жүзінде үмітсіз болар еді. Батыл ойнау бәсті тиімді етпейді; ол оны мүмкіндігінше қысқа етеді.
Мақсатсыз күйреу қаупі
Егер сіз күйрегенше ойнасаңыз немесе N айналымнан кейін тоқтасаңыз, сұрақ «менің ойын қорым N айналым ішінде нөлге жету ықтималдығы қандай?» дегенге айналады. Жалпы N үшін тұйық формула жоқ, бірақ осы сайттағы симуляторлар оны есептейді: қызылға $10 тігіліп, ойын қоры $500 болса, 100 айналымда күйреу дерлік болмайды (1%-дан аз), 500 айналымда шамамен 9%, ал 5 000 айналымда шамамен 95% болады. Тоқтату ережесі жоқ болса, ықтималдық 100%-ға ұмтылады, бұл казино артықшылығыныңматематикаКазино артықшылығыКазино орта есеппен әр бәстен сақтап қалатын үлес: еуропалық рулеткада 2,70%.Толығын оқу → ұзақ мерзімді нұсқасы.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медиана −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Қанша уақытқа және қаншаға алға
Тағы екі классикалық нәтиже ойыншылар шын мәнінде қоятын сұрақтарға жауап береді. Мақсат болмаса, тұрақты тең төлемді бәстер еуропалық дөңгелекте ойын қорының әр бірлігіне орташа 37 айналым, ал америкалық дөңгелекте 19 айналым жалғасады, өйткені әр айналым орташа есеппен бірліктің 1/37 бөлігін алады (америкалық дөңгелекте 1/19): 100 бірлік орташа 3 700 айналымға жетеді, дегенмен мұндай сессиялардың жартысы 3 134 айналымға жетпей аяқталады (Сессия ұзақтығы мен құнын қараңыз). Ал ойын қоры қанша үлкен болса да, еуропалық дөңгелекте бір кездері k бірлік алда болу ықтималдығы (18/19)ᵏ. Бір бірлік үшін ол 95%, он бірлік үшін 58%, бірақ ойын қоры қаншалықты мол болса да, 13 бірлік алда болуға тең мүмкіндік бермейді; америкалық дөңгелекте ықтималдық (9/10)ᵏ және 7 бірлікте жартыдан төмен түседі.
Сессия ұзақтығы мен құныАмерикалық рулетка дөңгелегі мен ережелері
Елу-елу мүмкіндікке арналған ойын қоры
Сұрақты кері қояйық: бәрін жоғалтпай тұрып берілген соманы ұтып алуға кемінде елу-елу мүмкіндік болу үшін қанша ақша әкелу керек? Шағын ұтыс үшін көп емес. Үлкенірек ұтыс үшін қажет ойын қоры күрт өседі, ал белгілі бір шектен кейін ешқандай ойын қоры жеткіліксіз, өйткені шексіз ойын қорының өзі сонша алға шығуға елу-елу мүмкіндіктен аз ғана мүмкіндік береді. Тейлор (2021) мұны басқаша түсіндіреді: америкалық дөңгелекте 100 бірлікке жетуге елу-елу мүмкіндік болу үшін 94-тен бастау керек, яғни 6 ұту үшін 94-ті қатерге тігесіз. Еуропалық дөңгелекте 88 қажет болар еді.
Практикалық түйін
Не істегіңіз келетінін шешіңіз. Егер мақсат — нақты ұтыс болса, ірі және аз бәс тігіңіз. Егер мақсат — ұзақ кеш болса, аз тігіп, казино артықшылығы үлкен айналымныңақшаАйналым сомасыҚайта тігілген ұтыстарды қоса есептегенде, сессия не кезең бойы тігілген жалпы сома. Басқаша: айналым, әрекет.Толығын оқу → 2,70%-ын алатынын қабылдаңыз. Егер мақсат екеуі де болса, бір нәрседен бас тарту керек, әдетте ол — мақсат сомасы.
Формула
Сұрақтар
МартингейлстратегияМартингейлӘр жеңілістен кейін бәсті екі есе арттыратын прогрессия. Оның не істейтіні және істемейтіні туралы Стратегия бөлімін қараңыз.Толығын оқу → оны қысқа сессияларда азайтады, ал ұзақ сессияларда күрт арттырады. Үлкенірек бірлікпен тұрақты бәс тігустратегияТұрақты бәс тігуӘр айналымда бірдей сома тігу. Барлық прогрессия салыстырылатын бастапқы деңгей.Толығын оқу → — оны азайтудың адал жолы.
Жоғарыдағы формула тең төлем үшін. Дисперсиясы жоғары бәстерде шағын бәс сомасында күйреу ықтималы жоғарырақ, ал мақсатқа біркелкі емес жолмен жетеді; калькуляторды пайдаланыңыз.
Мақсатқа қарай әр қадам күйреуге қарай әр қадамнан сәл азырақ ықтимал; бұл қатынас қадамдар саны бойында құралады.
Математикамен ойын
Әуелі бұларды өзіңіз шешіп көріңіз. Әр шешім жасырылған; дайын болғанда ашыңыз.
Сізде $100 бар және $1 000 алғыңыз келеді, тек қызылғабәсҚызыл18 қызыл нөмірге тең төлемді бәс. Французша: rouge.Толығын оқу → тігесіз. Бірінші жоспар: әр жолы $1 тігу. Екінші жоспар: $500-ден асқанша бар ақшаңызды тігу, кейін $1 000-ға жетуге жететінін ғана тігу. Қай жоспар жақсы, айырмасы қанша?
Шешімді көрсету
Жауап Екінші жоспар, айқын. Ол $1 000-ға шамамен 9,0% жағдайда жетеді, әділ ойындағы 10%-ға жақын. Бірінші жоспар шамамен 10²²-нің 7-сінде ғана сәтті.
Әділ ойындаматематикаӘділ ойынЕкі тараптың да артықшылығы жоқ ойын: әр бәстің күтілетін мәні нөл.Толығын оқу → не істесеңіз де $100-ден $1 000-ға онның бірінде жетер едіңіз, өйткені ақшаңыздың орташа құны $100 болып қалады.
Артықшылық әр бәстің 2,70%-ын алады, сондықтан жалпы неғұрлым аз тіксеңіз, онның біріне соғұрлым жақын қаласыз. Екінші жоспар істі санаулы бәсте шешеді: $100 $200, $400, $800 болады, сосын $200 жеткілікті. Ол шамамен 9,0% жағдайда сәтті. Бірінші жоспардағы кездейсоқ серуен аяқталғанша мыңдаған бәс жасалады, ал әрқайсысындағы аз артықшылық жиналып, дерлік сөзсіз күйреуге әкеледі.
Бұл Дубинс–Сэвидж нәтижесінің ең қарапайым түрі (Эпстейн, 2013): казиноны қолдайтын ойында керек соманы мүмкіндігінше аз рет тігіңіз.
Сізде $500 бар және $1 000 алғыңыз келеді; жеткен бойда тоқтайсыз. Бір бәс түрін таңдап, бір рет ұтқанша не ақша таусылғанша қайталайсыз. Қай түр ең жақсы мүмкіндік береді?
Шешімді көрсету
Жауап Қызылға бір $500 бәс: 48,6%. Ақшаны кіші бәстерге бөлетін әр жоспар бұдан нашар.
Бір ұтыс жеткілікті болатындай әр тігілімді таңдаңыз: бір нөміргебәсБір нөмірге бәсБір нөмірге бәс, 35:1 төлейді.Толығын оқу → $30 $1 050 ұтады, екі нөмірлік бәскебәсЕкі нөмірлік бәсЖанасқан екі нөмір, 17:1 төлейді.Толығын оқу → $60 $1 020 ұтады, т.с.с. Сосын ақша таусылғанша кемінде бір бәстің ұту ықтималдығын санаңыз. Он алты $30 бір нөмірге бәсінің бәрі (36/37)¹⁶ = 64,5% ықтималдықпен тимейді, демек $1 000-ға 35,5% жағдайда жетеді.
Кесте әр бәсті көрсетеді. Қызыл ең жақсы, өйткені бір бәсте жетеді, сондықтан артықшылық $500-де бір рет төленеді. Алты жолбәсАлты жолдық бәсЕкі жанасқан қатардағы алты нөмір, 5:1 төлейді. Французша: sixain.Толығын оқу → екінші, өйткені оған үшеуі ғана керек. Бір дюжинабәсДюжина1–12, 13–24 не 25–36; 2:1 төлейді.Толығын оқу → бәсі ең нашар, 12/37 мүмкіндік; тіпті $1 000 не одан көп болғанша $250 бірлікпенақшаБірлікЖүйе не ойыншы жұмыс істейтін негізгі бәс сомасы. Прогрессиялар кез келген үстелде қолданылуы үшін бірліктермен сипатталады.Толығын оқу → ойнаса да, дюжина 46,4% жағдайда ғана жетеді.
Боллман (2024) америкалық дөңгелек үшін дәл сол кестені жасайды. Оның дюжина жолында қате бар: 12/38 = 31,6% болуы тиіс.
бәстігілім × бәстер саны$1 000-ға жету ықтималдығыБір нөмірге бәс$30 × 1635,5%Екі нөмірлік бәс$60 × 835,9%Қатар бәсі$90 × 534,5%Бұрыш бәсі$125 × 436,7%Алты жол$166, $166, $16841,2%Дюжина$500 × 132,4%Қызыл$500 × 148,6%Сіз қызылға бір бірлік тігесіз, айналымнан айналымға, ешқашан таусылмайтын ойын қорыменақшаОйын қорыОйынға арнап бөлінген жалпы сома. Ойын қорын басқару — оның бір бәске және бір сессияға қанша бөлігін қатерге тігуді шешу.Толығын оқу →. Алғашқы айналымнан кейін бір бірлік алда не бір бірлік артта боласыз. Қайтадан дәл тең болу ықтималдығы қандай?
Шешімді көрсету
Жауап 37-нің 36-сы, 97,3%. Америкалық дөңгелекте 38-дің 36-сы, 94,7%.
Алғашқы айналым ұтса (37-нің 18-інде), сіз бір бірлік алдасыз, ал артықшылық әр шексіз сессияны төмен тартады, сондықтан ерте ме, кеш пе теңдіктен қайта өтесіз: бұл анық. Ұтылса (37-нің 19-ында), бір бірлікке көтерілу керек, ал бір бірлік алда болу ықтималдығы 18/19 (жоғарғы кестені қараңыз).
Барлығы: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Жалпы, ықтималдық — айналымды ұту мен ұтылу ықтималдықтарының айырмасынан 1-ді азайту: еуропалық дөңгелекте 1 − 1/37, америкалықта 1 − 2/38. НөлсіздөңгелекНөлТең төлемді, дюжина не баған бәстерінің ешқайсысы жаппайтын жалғыз жасыл ұяшық; казино артықшылығының көзі. Сондай-ақ: бір нөл, 0.Толығын оқу → ойында айырма жоқ және ықтималдық 1: есеп әрқашан теңдікке қайта келеді. Эпстейн (2013) жалпы ережені келтіреді.
Паскальдың 1656 жылғы жұмбағы: екі ойыншы үш сүйек лақтырады, әрқайсысы 12 есептегіштен бастайды. Әр 11 түскенде есептегіш бірінші ойыншыға, әр 14 түскенде екіншісіне өтеді; басқа лақтырулар саналмайды. Бірінші ойыншы барлық 24-ті ұтуы қаншалық ықтимал? Ал досыңыз банк болатын қызылға әр айналымда 1 бірлік тіксеңіз, әрқайсыңызда 12 бірліктен, барлық 24-ті ұту ықтималдығыңыз қандай?
Шешімді көрсету
Жауап Бірінші ойыншы 1 158-дің шамамен 1 157-сінде ұтады. Сіз, қызылда, 24 бірліктің бәрін шамамен 34% жағдайда ғана ұтасыз.
Үш сүйек 11-ді 27 жолмен, 14-ті 15 жолмен береді, сондықтан қозғалған әр есептегіш 42-нің 27-сінде бірінші ойыншыға, 14-тің 9-ында барады. Әр жақта 12-ден бастағанда бәрін алу ықтималдығы 1/(1 + r¹²), мұнда r — қарсы жақ ықтималдығының сіздікіне қатынасы.
Бірінші ойыншы үшін r = 5/9, ал (5/9)¹² ≈ 0,00086, сондықтан ықтималдық шамамен 0,99914: 9¹²-нің 5¹²-ге коэффициенті, не 282 429 536 481-дің 244 140 625-ке, шамамен 1 157-ге 1. Гюйгенс дәл осы сандарды 1657 жылы басып шығарған.
Қызылда нөлге байланысты r = 19/18, ал (19/18)¹² ≈ 1,913: ықтималдығыңыз 1/2,913 ≈ 34,3%. Тиын 50% берер еді. Әр бәстегі 2,70% артықшылық көптеген бәстерде жиналып, 16 тармақтық алшақтық береді.
Күлкілі үзіліс
Батыл ойнау оңтайлы. Ол да тез аяқталады.
Дереккөздер
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”