Есеп: туған күн дөңгелегі
Қандай да бір нөмір қайталанғанша қанша айналым керек? Көп адам ойлағаннан әлдеқайда аз.
37 ұяшықтыжабдықҰяшықРотордағы 37 нөмірленген бөлімнің бірі. Басқаша: ойық, шыныаяқша.Толығын оқу → дөңгелектегі туған күн есебі: небәрі 8 айналымнан кейін қандай да бір нөмірдің екі рет шығу ықтималдығы жартыдан жоғары. Ойыншылар қайталауды үлгі деп оқиды; ол — әділ дөңгелекте күтілетін құбылыс.
Есеп
Әділ еуропалық дөңгелекті айналдырыңыз. Кемінде екі айналымда бір нөмір түсу ықтималдығыматематикаЫқтималдықНәтиженің мүмкіндігі; 0-ден 1-ге дейін не 0%-дан 100%-ға дейін. Бір нөмір: 1/37 = 2,70%.Толығын оқу → жартыдан асқанша қанша айналым қажет? Ойыншылардың көбі 37-нің жартысы — 18 не 19 шамасында деп болжайды. Жауабы — 8.
Шешім
Қайталанудың болмау ықтималдығын есептеп, оны бірден азайтыңыз. k айналымнан кейін p(бәрі әртүрлі) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8 үшін: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, сондықтан p(қандай да бір қайталану) ≈ 0,56. k = 14 үшін ол 0,93; k = 20 үшін 0,996. Түйсік мұнда жаңылысады, өйткені айналымдар жұбының саны k² ретінде өседі және кез келген жұп сәйкес келуі мүмкін.
Неліктен бұл үстелде маңызды
Соңғы 20 нөмірдің нәтижелер тақтасында кемінде бір қайталану, көбіне екі не үш рет, әрдайым дерлік болады. Ойыншылар «17 он айналымда екі рет шықты» деп, 17 ыстық деген қорытынды жасайды; туған күн арифметикасы он айналым ішінде қайталану 74% жағдайда болатынын және қайталанған нөмір кездейсоқ екенін айтады. Үлгі шын; мағынасы жоқ.
Қосымша есеп
Белгілі бір нөмір, мысалы 17, екі рет шыққанша қанша айналым керек? Бұл — жауабы әлдеқайда үлкен басқа сұрақ: күтілетін күту уақыты 74 айналым, ал 20 айналым ішінде екі 17 болу ықтималдығы шамамен 10%. «Кей нөмір қайталанады» (8 айналым) мен «осы нөмір қайталанады» (74 айналым) арасындағы айырма — кейін байқалатын үлгі мен алдын ала жасалатын болжам арасындағы негізгі айырма.
Өзіңіз байқап көріңіз
Demo Game-ді он айналымға жүргізіп, тарихқа қараңыз. Әдетте қайталану болады. Қайта жүргізіңіз. Қайталанған нөмір басқа болады. Мұны он рет істесеңіз, туған күн есебінматематикаТуған күн есебіЕкі адамның туған күні бірдей болуы ықтимал болу үшін қанша адам, не нөмірдің қайталануы ықтимал болу үшін қанша айналым керегін анықтайтын есеп. 37 ұяшықты дөңгелекте 8 айналымда ықтималдық жартыдан асады.Толығын оқу → көрдіңіз; мың рет істесеңіз (тренажерлар істей алады), оны өлшедіңіз.
Формула
Сұрақтар
Дәл сол, тек 365 күннің орнына 37 ұяшық бар. 23 адам болғанда туған күндер үшін ықтималдық 50%, ал 8 айналымда дөңгелек үшін 56% болады.
Шамамен 19 айналымнан кейін 50%. Әлі де қалыпты.
Жоқ. Бір дөңгелектен алынған мыңдаған айналым ғана соны білдіруі мүмкін; бір қайталану ешқашан білдірмейді.
Математикамен ойын
Әуелі бұларды өзіңіз шешіп көріңіз. Әр шешім жасырылған; дайын болғанда ашыңыз.
Америкалық дөңгелек жанындағы нәтижелер тақтасы соңғы 16 айналымды көрсетеді. Онда еш нөмір екі рет көрінбеу ықтималдығы қандай?
Шешімді көрсету
Жауап Шамамен 2,5%: 40 тақтаның шамамен 39-ында кемінде бір қайталау бар.
Айналымнан айналымға өтіңіз. Біріншісі кез келген бола алады. Екіншісі одан қашуы тиіс: 38-дің 37 мүмкіндігі. Үшіншісі екеуінен де қашуы тиіс: 38-дің 36-сы. Он алтыншысы он бес нөмірден қашуы тиіс: 38-дің 23-і.
Көбейтіңіз: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Қайталаусыз тақта — сирек. Қайталауы бар тақта дөңгелек туралы ештеңе айтпайды.
Еуропалық дөңгелектің он айналымында 17-нің дәл бес рет түсу ықтималдығы қандай? Кез келген бір нөмірдің бес не одан көп рет түсуі ше? Ал төрт айналымда бір нөмірдің кемінде үш рет түсуі ше?
Шешімді көрсету
Жауап 17 дәл бес рет: 315 576-ның 1-і. Бір нөмір бес не одан көп рет: шамамен 8 333-тің 1-і. Төрт айналымда бір нөмір үш не одан көп рет: 349-дың 1-і.
17 бес рет: он айналымның қай бесеуі екенін таңдаңыз, 252 жол, әрқайсысының ықтималдығы (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Барлығы 315 576-ның 1-і.
Кез келген нөмір: 37 нөмірдің әрқайсысының бес не одан көп түсу ықтималдығы 308 325-тің 1-і; бұл 308 325-тің 37-сі, яғни 8 333-тің 1-і. Бес рет түскен екі нөмірдің сирек жағдайы екі рет саналады, бірақ бұл дәлдікте ештеңені өзгертпейді.
Төрт айналымда үш рет: бір нөмір үшін 37⁴ мүмкін нәтиженің 4 × 36 + 1 = 145-і; 37 нөмірдің кез келгені үшін 145/37³ = 349-дың 1-і.
Қос нөлдідөңгелекНөлТең төлемді, дюжина не баған бәстерінің ешқайсысы жаппайтын жалғыз жасыл ұяшық; казино артықшылығының көзі. Сондай-ақ: бір нөл, 0.Толығын оқу → дөңгелекте сәйкес сандар 359 275-тің 1-і, 9 243-тің 1-і және 368-дің 1-і. «17» бен «кез келген нөмір» арасындағы алшақтық қайтадан туған күн мәселесіматематикаТуған күн есебіЕкі адамның туған күні бірдей болуы ықтимал болу үшін қанша адам, не нөмірдің қайталануы ықтимал болу үшін қанша айналым керегін анықтайтын есеп. 37 ұяшықты дөңгелекте 8 айналымда ықтималдық жартыдан асады.Толығын оқу →: таңғалудың 37 жолы бар.
Күлкілі үзіліс
Бірдеңе ерте қайталанады. Сол бірдеңе кездейсоқ.
Дереккөздер
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.