Ұзақ мерзімді жинақталу: рулеткадағы үлкен сандар заңы
Орташа мән −2,70%-ға қалай жақындайды және бұл неліктен түйсік болжағаннан ұзаққа созылады.
Бір айналымға орташа шығын айналымдар көбейгенде −1/37-ге жақындайды, ал таралуы 1/√N сияқты азаяды. Қызылға 1 000 айналымнан кейін орташа көрсеткіш әдетте күтілімінен ±3% шегінде болады.
Үлкен сандар заңы
Тәуелсіз бәстердің жиналмалы орташа мәні күтілетін мәнгематематикаКүтілетін мәнҰзақ мерзімдегі бір бәстің орташа нәтижесі. Әрбір стандартты еуропалық бәс үшін бәс сомасының −1/37 бөлігі.Толығын оқу → ұмтылады. Бір бірлікақшаБірлікЖүйе не ойыншы жұмыс істейтін негізгі бәс сомасы. Прогрессиялар кез келген үстелде қолданылуы үшін бірліктермен сипатталады.Толығын оқу → мөлшеріндегі N тең төлемді айналымнан кейін бір айналымдағы орташа нәтиженің күтілімі −1/37 және стандартты ауытқуыматематикаСтандартты ауытқуДисперсияның квадрат түбірі; нәтиженің күтілетін мәннен әдеттегі қашықтығы.Толығын оқу → 1/√N. N = 100 кезінде бұл таралу бәс сомасының 10%-ы, 2,7% сигналдан шамамен төрт есе көп. N = 1 000 кезінде ол 3,2%, шамамен сигналмен бірдей. N = 10 000 кезінде 1%, сонда артықшылық анық көрінеді. Сессияда артықшылық көрінбейді, ал жыл ішінде айқын болады.
Не жақындайды, не жақындамайды
Бір айналымдағы орташа мән жақындайды. Жалпы мән жақындамайды: N өскенде күтілімде N-нің шамамен 2,7%-ына, ал оның айналасында √N таралуымен нөлден алыстайды. $10-дан 10 000 айналым ойнаған ойыншының күтілетін шығыны $2 700, ауытқуы шамамен $1 000. ҚызылдардыңбәсҚызыл18 қызыл нөмірге тең төлемді бәс. Французша: rouge.Толығын оқу → жиналмалы үлесі 48,65%-ға баяғыда жақындады; жиналмалы баланс еш жерге орныққан жоқ.
- p10 −$440
- p25 −$280
- медиана −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Неліктен түйсік қателеседі
Адамдар 2,70% үлкен естіледі деп артықшылық тез көрінеді деп күтеді, ал ұзақ сериялар «теңеседі» деп күтеді, өйткені үлкен сандар заңыматематикаҮлкен сандар заңыТәуелсіз нәтижелердің орташа мәні сынақ саны өскен сайын күтілетін мәнге жинақталады.Толығын оқу → орташа мәндер жақындайды дейді. Екі түйсік те ауқымды қате бағалайды: артықшылық бір айналымның дисперсиясыменматематикаДисперсияНәтижелердің күтілетін мәннен қаншалықты кең таралатынын өлшеу. Бір нөмірлік бәсте жоғары, тең төлемді бәстерде төмен.Толығын оқу → салыстырғанда шағын (σ = 1 бірлік, EV = 0,027), сондықтан бір сигмалық көрінуге (1/0,027)² ≈ 1 400 айналым керек. Ал орташа мәннің жақындауы жалпы соманы кері тартпайды; ол тек бұрынғы ауытқуларды сұйылтады.
Басқа бәстер үшін жақындау
Бір нөмірге бәстербәсБір нөмірге бәсБір нөмірге бәс, 35:1 төлейді.Толығын оқу → үшін σ = 5,84, сондықтан сол есеп артықшылық бір сигмаға жетуі үшін (5,84/0,027)² ≈ 47 000 айналым береді. Бір нөмірге бәс тігуші өз жазбаларында артықшылық сәттіліктен ажырамастан жылдар бойы ойнай алады, ал оны апталарда көретін қызылға тігуші сияқты дәл сондай 2,70% төлейді.
Жүйелерді сынауға салдары
Жүйе жұмыс істейді деген адам оны құжатталған оң орташа мәнмен 10 000 не одан көп айналымда көрсете алуы тиіс. 1 000 айналымда тең төлемді бәстегі оң орташа мән нөлдік жорамал жағдайында бестің бірінде болады; 100 айналымда ол тиын лақтыруға жуық. Бұл сайттағы тренажерлар таңдаған ұзындықтағы 2 000 сессияны бір секундта жүргізеді, бұл кез келген куәліктен көбірек дәлел.
Формула
Сұрақтар
Ойнаған сайын қайтадан алда болу ықтималдығыматематикаЫқтималдықНәтиженің мүмкіндігі; 0-ден 1-ге дейін не 0%-дан 100%-ға дейін. Бір нөмір: 1/37 = 2,70%.Толығын оқу → нөлге қарай төмендейді. Жалпы мән шексіз төмен ығысады.
Жоқ. Ол өткен ауытқулар үлкенірек іріктеменің кіші үлесіне айналады дегенді білдіреді.
Тең төлемді бәстер үшін артықшылық анық көрінуі үшін шамамен 10 000. Бір нөмірге бәстер үшін шамамен 50 000.
Математикамен ойын
Әуелі бұларды өзіңіз шешіп көріңіз. Әр шешім жасырылған; дайын болғанда ашыңыз.
Екі дос әділ ойынныңматематикаӘділ ойынЕкі тараптың да артықшылығы жоқ ойын: әр бәстің күтілетін мәні нөл.Толығын оқу → 20 раундын — тиын лақтыруды не қызылбәсҚызыл18 қызыл нөмірге тең төлемді бәс. Французша: rouge.Толығын оқу → бен қарабәсҚара18 қара нөмірге тең төлемді бәс. Французша: noir.Толығын оқу → ойынын, нөлдердөңгелекНөлТең төлемді, дюжина не баған бәстерінің ешқайсысы жаппайтын жалғыз жасыл ұяшық; казино артықшылығының көзі. Сондай-ақ: бір нөл, 0.Толығын оқу → қайтарылатын жағдайда — ойнап, жүріп отырған есепті сақтайды. Әрқайсысы алда болған раундтарды санаңыз (теңдік алдыңғы сәтте алда болған адамға есептеледі). Қайсысы ықтималырақ: көшбасшылық 10 раундқа 10 болып бөлінуі ме, әлде бір достың 20-сының бәрінде алда болуы ма?
Шешімді көрсету
Жауап Бір достың 20 раундтың бәрінде алда болуы әлдеқайда ықтимал: екі досының бірін есептегенде 35,2%, ал тең 10-ға 10 үшін 6,1%.
Әділ жүріп отырған есептің 2k раундтан кейін тең болу ықтималдығы u = C(2k, k)/2²ᵏ: 10 раундтан кейін 0,246 және 20-дан кейін 0,176. Классикалық арксинус заңы аталған дос 2n раундтың дәл 2k-сінде алда болу ықтималдығы u(2k) × u(2n − 2k) екенін айтады.
20-сының бәрінде алда: әр дос үшін u(20) × u(0) = 0,176, екеуінің бірі үшін 35,2%. Тең бөлу: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, барлық үлестердің ең азы.
Демек әділ ойында көшбасшылық сирек ауысады. Кеш бойы алда не артта болған ойыншы әдеттен тыс ештеңе көрген жоқ; ол дөңгелек не шеберлік жайлы ештеңе айтпайды. Эпстейн (2013) ұзақ ойындар үшін сол заңды келтіреді: уақыттың жартысында жолы болған жақ ойынның 85%-ынан астамында алда болады.
Күлкілі үзіліс
Орташа мән жақындайды. Жалпы сома жай ғана алыстайды.
Дереккөздер
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.