Есеп: үстел шегі
$500 үстелдегі $10 Мартингейл. Ол қаншалықты жиі бұзылады, бұзылғанда қанша жоғалтады және шекті көтеру көмектесе ме?
Қатарынан алты ұтылыс оны бұзады: циклге 1,8%, 100 айналымдық сессиялардың шамамен 60%-ы. Бұзылу $630 тұрады. Шекті $5 000-ға көтеру бұзылуды сиретеді (циклге 0,25%), бірақ үлкейтеді ($5 110). Тігілген әр долларға күтілетін шығын кез келген шекте 2,70%.
Есеп
Ойыншы қызылғабәсҚызыл18 қызыл нөмірге тең төлемді бәс. Французша: rouge.Толығын оқу → $10 тігеді және әр ұтылыстан кейін екі есе көбейтеді, ал ұтыстан кейін бастапқы бәсіне қайта оралады. Үстелдің ең жоғарғы шегі $500. (a) Қатарынан қанша ұтылыс прогрессияныстратегияПрогрессияАлдыңғы нәтижелерге сай бәс сомасын өзгертетін кез келген ереже. Теріс прогрессиялар оны жеңілістен кейін, оңдары жеңістен кейін өсіреді.Толығын оқу → бұзады? (b) Бір циклдегі ықтималдықматематикаЫқтималдықНәтиженің мүмкіндігі; 0-ден 1-ге дейін не 0%-дан 100%-ға дейін. Бір нөмір: 1/37 = 2,70%.Толығын оқу → қандай? (c) Бұзылғанда не жоғалады? (d) $5 000 шегі жауаптарды қалай өзгертеді? (e) Қандай да бір шек жүйені табысты ете ме?
Шешімдер (a)–(c)
Бәс сомалары: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Жетіншісі 640 > 500 болар еді, сондықтан алты ұтылыс оны бұзады. (b) Қызылда p(ұтылыс) = 19/37; (19/37)⁶ = 0,0183, бір циклге шамамен 1,8%. Цикл орта есеппен шамамен екі айналым созылады, сондықтан 100 айналымдық сессияда шамамен 50 цикл бар және p(кемінде бір бұзылу) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, бұл цикл ұтуға тырысқан $10-ға қарсы 63 негізгі бірлікақшаБірлікЖүйе не ойыншы жұмыс істейтін негізгі бәс сомасы. Прогрессиялар кез келген үстелде қолданылуы үшін бірліктермен сипатталады.Толығын оқу →.
Шешім (d)
$5 000 кезінде: 2 560-қа дейінгі бәстерге рұқсат бар; оныншы бәс, 5 120, қабылданбайды. Тоғыз ұтылыс оны бұзады: (19/37)⁹ ≈ 0,25% бір циклге, 100 айналымдық сессиялардың шамамен 11%-ы. Бұзылудағы шығын: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Ойыншы үлкенірек апат бағасына сирегірек апат сатып алды. Көп сессияда бұзылулардың күтілетін құны $500 шегінде p × loss ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 бір циклге және $5 000-де 0,0025 × 5 110 = $12,8; дөңгелектеуді ескергенде бұл бірдей сан және ол жеңісті циклдер табатын $10-ды шегергендегі циклдің күтілетін шығыныматематикаКүтілетін шығынКүтілетін мәннің тігілген жалпы сомаға көбейтіндісі; сессия не кезең ішінде орташа жоғалтылатын сома.Толығын оқу →.
Шешім (e)
Жоқ. Бір циклдегі күтілетін шығын = (циклдегі күтілетін жалпы бәс сомасы) / 37, кез келген шекте, өйткені әр бәс өзінің −1/37 бөлігіне тең. Шек тек шығынның көп шағын ұтыс пен аз үлкен ұтылыс арасында қалай бөлінетінін шешеді. Шексіз шек пен шексіз ойын қорыақшаОйын қорыОйынға арнап бөлінген жалпы сома. Ойын қорын басқару — оның бір бәске және бір сессияға қанша бөлігін қатерге тігуді шешу.Толығын оқу → болғанда прогрессия ешқашан бұзылмайтыны мағынасында «жұмыс істер еді», әрі ол сол шексіз соманың 2,70% күтілетін шығынымен шексіз сома тігер еді. Үстел шегіүстелҮстел шегіРұқсат етілген ең төмен және ең жоғары бәс. Ең жоғары шек екі еселеу прогрессияларын тоқтатады.Толығын оқу → МартингейлстратегияМартингейлӘр жеңілістен кейін бәсті екі есе арттыратын прогрессия. Оның не істейтіні және істемейтіні туралы Стратегия бөлімін қараңыз.Толығын оқу → жұмыс істеуін тоқтатпайды. Оны арифметика тоқтатады.
Екі нақты үстел
Thorp мысалында ойыншы кешкі асқа $30 ұтуға үміттеніп, бір доллардан тігетін $1 үстел бар, оның ең жоғары шегі $1 000. 1, 2, 4 … 512 бәстері он бәс жасауға мүмкіндік береді, сондықтан қатарынан он ұтылыс прогрессияны бұзады: еуропалық дөңгелекте 785 циклде бір рет (америкалықта 613 циклде бір рет), құны $1 023. Отыз циклдің бәрі 96,2% жағдайда сәтті аяқталады. Қалған 3,8% шамамен $1 000 жоғалтады, ал кештің орташа нәтижесі −$9,17, бұл отыз циклдің орташа тіккен $339 сомасының дәл 1/37 бөлігі. Ең жоғары шегі $2 000 болатын $5 үстел де еш айырмасыз: $1 280-ға дейінгі бәстер тоғыз бәс жасауға мүмкіндік береді, ал бұзылу еуропалық дөңгелекте 403 циклде бір рет (америкалықта 323 циклде бір рет) болады және $2 555 тұрады.
Бай ойыншы
Прогрессияға төмен шектің орнына ауқымды ойын қорын беріңіз: 1 000 бірлік, бір бірліктік негіз және қызылға 1 000 айналым; келесі екі еселенген бәс қалған сомадан асқан сайын қайтадан бір бірліктен бастаңыз. Біз осындай миллион кешті модельдедік. Еуропалық дөңгелекте 52% алда аяқтайды, 21% бәрін жоғалтады, ал орташа нәтиже −124 бірлік. нөлідөңгелекНөлТең төлемді, дюжина не баған бәстерінің ешқайсысы жаппайтын жалғыз жасыл ұяшық; казино артықшылығының көзі. Сондай-ақ: бір нөл, 0.Толығын оқу → жоқ, әр бәс әділ ойында да, тек шамамен 60% алда аяқтар еді. Әдеттегі кеш — кіші ұтыс; орташа мән нөлмен аяқталатын кештер есебінен төленеді.
Сабақ
Казинолар шектерді жүйелерді жеңу үшін емес, өз дисперсиясынматематикаДисперсияНәтижелердің күтілетін мәннен қаншалықты кең таралатынын өлшеу. Бір нөмірлік бәсте жоғары, тең төлемді бәстерде төмен.Толығын оқу → шектеу үшін қояды. Мартингейлді жеңу — олар риза болатын жанама әсер, ал арифметика оны бәрібір жеңер еді. Шек мәселе деп ойлаған ойыншы жарды тауып, оны еңіс деп шатастырды.
Формула
Сұрақтар
Ол сізді бұзылу сирегірек, бірақ үлкенірек болатын жоғары шекке дейін жеткізеді. Бір долларға күтілетін шығын өзгермейді.
Бәс сомалары 10, 30, 70, 150, 310: $500 шегіне бес ұтылыстан кейін жетеді, ал бұзылу $570 тұрады. Сол 2,70%.
Бір ойыншы казиноның қоры жайлы төлей алатын сомадан артық тіге алмауы үшін. Дисперсияны басқару.
Математикамен ойын
Әуелі бұларды өзіңіз шешіп көріңіз. Әр шешім жасырылған; дайын болғанда ашыңыз.
МартингейлстратегияМартингейлӘр жеңілістен кейін бәсті екі есе арттыратын прогрессия. Оның не істейтіні және істемейтіні туралы Стратегия бөлімін қараңыз.Толығын оқу → қызылғабәсҚызыл18 қызыл нөмірге тең төлемді бәс. Французша: rouge.Толығын оқу → $100-ден басталып, циклде ең көбі n бәс қояды: қатарынан n рет ұтылса, тоқтап, қайта бастайды. Бір циклдің орташа нәтижесін n арқылы формула түрінде жазыңыз және еуропалық дөңгелектегі 5, 6 және 7 бәс үшін есептеңіз.
Шешімді көрсету
Жауап Орташа 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 бәсте −$14,26, 6-да −$17,35 және 7-де −$20,52. Көбірек бәс қоюға рұқсат беру циклдің орташа нәтижесін жақсы емес, нашар етеді.
Цикл барлық n бәс ұтылмаса $100 ұтады; барлық n бәс ұтылуының ықтималдығы qⁿ, мұнда q = 19/37. Бәрі ұтылғанда, 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ тігілімдері 100 × (2ⁿ − 1) болады. Сондықтан орташа 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Мұнда 2q = 38/37, 1-ден сәл артық, сондықтан (2q)ⁿ n-мен өседі, ал орташа түседі: n = 5 — 1,1426 және −$14,26; n = 6 — 1,1735 және −$17,35; n = 7 — 1,2052 және −$20,52. Ұзынырақ саты сирегірек — циклдердің 3,6%, 1,8% және 0,9%-ында — ұтылады, бірақ әр ұтылыс екі есе үлкен, әр циклде үстелден көбірек ақша өтеді, әр бәстегі 2,70%-бен.
Америкалық дөңгелекте 2q = 40/38, ал сандар −$29,24, −$36,04 және −$43,20 (Тейлор, 2021). НөлсіздөңгелекНөлТең төлемді, дюжина не баған бәстерінің ешқайсысы жаппайтын жалғыз жасыл ұяшық; казино артықшылығының көзі. Сондай-ақ: бір нөл, 0.Толығын оқу → ойында 2q = 1, ал саты қанша ұзын болса да әр циклдің орташа мәні дәл нөл.
«Үлкен Мартингейл» ұтылыстан кейін тігілімді екі еселеп, бір бірлікақшаБірлікЖүйе не ойыншы жұмыс істейтін негізгі бәс сомасы. Прогрессиялар кез келген үстелде қолданылуы үшін бірліктермен сипатталады.Толығын оқу → қосады, сондықтан тігілімдер 1, 3, 7, 15, 31 … болады. Алғашқы ұтыс 1-ші, 2-ші, 3-ші не k-шы бәсте келсе, қанша алда боласыз? $10 бірлік пен $500 шекте цикл қаншалық жиі үзіледі және орташа қанша тұрады?
Шешімді көрсету
Жауап k-шы бәстегі ұтыс k бірлік алда қалдырады: +1, +2, +3 және т.с.с. $10 және $500-де цикл бес ұтылыстан кейін, циклдердің 3,57%-ында, −$570-пен үзіледі. Орташа цикл $85,73 тігілгеннен $2,32 жоғалтады: 2,70%.
k-шы тігілім 2ᵏ − 1 бірлік: 1, 3, 7, 15, 31. Алғашқы k − 1 тігілімнің қосындысы 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. k-шы бәстегі ұтыс 2ᵏ − 1 төлейді, сондықтан цикл (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k бірлік алда аяқталады: ұтысқа дейінгі әр ұтылысқа бір қосымша бірлік.
$10 бірлікте тігілімдер $10, $30, $70, $150 және $310; келесісі, $630, $500 шектен асады. Қатарынан бес ұтылыс, (19/37)⁵ = 3,57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 тұрады.
Орташа: ұтыстар k = 1-ден 5-ке дейін (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 ықтималдықпен $10 × k әкеледі, ал үзілу 3,57% ықтималдықпен $570 әкеледі; барлығы −$2,32. Тігілген ақша циклге орташа $85,73, ал 2,32/85,73 = 2,70%. Сол үстелдегі кәдімгі Мартингейл алты ұтылыстан кейін, циклдердің 1,83%-ында, −$630-пен үзіледі және $64,20 тігілгеннен $1,74 жоғалтады: тағы 2,70%.
Ойыншы қызылға Мартингейл жоспарлайды: алғашқы бәс $1, үстел шегі $1 000, демек он бәс мүмкін: $1, $2, $4 және $512-ге дейін. Бір циклдегі он бәстің бәрі қаншалық жиі ұтылады, бұл орташа қанша уақыт алады және 200 бәс кеші қаншалық жиі солай аяқталады?
Шешімді көрсету
Жауап Циклдің он реті түгел ұтылуы шамамен 784-тің бірінде, құны $1 023. Бұл орташа шамамен 1 600 бәс, ал 200 бәс кеші қабырғаға шамамен 11% жағдайда соғылады. Цикл әлі де орташа $11,31 тігілгеннен $0,31 жоғалтады: 2,70%.
Қызылға бәс, нөлді қоса, 19/37 ықтималдықпен ұтылады. Қатарынан он: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, шамамен 784-тің 1-і. 1 + 2 + 4 + … + 512 тігілімдері $1 023 болады.
Цикл орташа 2,05 бәстен тұрады, сондықтан 784 цикл шамамен 1 600 бәс алады. Айналымнан айналымға санасақ, он ұтылыс сериясы 200 бәстің бір жерінде 11,3% жағдайда шығады.
Апаттар арасында ойыншы циклге $1 ұтады: жаман циклге дейін шамамен $783, содан кейін −$1 023, бүкіл аралықта шамамен −$240. Циклге: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Циклдегі тігілген ақша: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Ал −0,31/11,31 = −2,70%.
$500 шектегі $10 алғашқы бәспен, алты бәспен салыстырыңыз: қабырға 55 циклдің бірінде, ал 200 бәс кешінде 84% жағдайда кездеседі. Жоғары шек құлауды сирегірек әрі үлкенірек етеді, арзандатпайды.
Күлкілі үзіліс
Кез келген шекте сирегірек әрі үлкенірек. Көбейтінді тұрақты.
Дереккөздер
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.