Рулетка математикасы · Қолданбалы · 8 мин

Келли критерийі және рулетка

Q: Келли рулеткаға бәс тігу керек деп айта ма?

Тек ауытқыған дөңгелектен өлшенген артықшылық не уақыт өлшеу құрылғысы болса. Әділ дөңгелекте емес.

Келли критерийі артықшылығы бар ойыншыға қанша тігу керегін айтады. Рулетка үшін оның жауабы анық: ештеңе.

Қысқа жауап

Келли бәсі = артықшылық / коэффициенттер. Теріс артықшылықта формула теріс үлесті береді, яғни бәс тікпеңіз. Дегенмен критерий ауытқу ойыншыларының бәсті неге солай мөлшерлегенін және басқалардың неліктен бюджетке сай мөлшерлеуі керегін түсінуге пайдалы.

Келли үлесі

f* = (bp − q) / b

қызыл үшін

(1 × 18/37 − 19/37) / 1 = −1/37

түсіндірме

бәс тікпеңіз

1/30 ұяшық үшін

≈ ойын қорының +0,6%-ы

Критерий

John Kelly (1956) белгілі артықшылығы бар ойыншы ұзақ мерзімді ойын қорыныңақшаОйын қорыОйынға арнап бөлінген жалпы сома. Ойын қорын басқару — оның бір бәске және бір сессияға қанша бөлігін қатерге тігуді шешу.Толығын оқу → өсуін барынша арттыру үшін бәстерді қалай мөлшерлеуі керек екенін сұрады. Жеңіс ықтималдығыматематикаЫқтималдықНәтиженің мүмкіндігі; 0-ден 1-ге дейін не 0%-дан 100%-ға дейін. Бір нөмір: 1/37 = 2,70%.Толығын оқу → p, ұтылу ықтималдығы q = 1 − p болатын және b-ден 1-ге төлейтін бәс үшін жауап — ойын қорының f* = (bp − q) / b үлесін тігу. Оң f* сол үлесті тігу дегенді білдіреді; нөл не теріс мән бәс тікпеуді білдіреді. Kelly Bell Labs-та жұмыс істеді, ал оның «A new interpretation of information rate» еңбегі мәселені Claude Shannon-ның ақпарат теориясында қойды: шулы желі арқылы кеңес алатын ойыншы әділ коэффициенттерде ойын қорын желі тасымалдайтын ақпарат жылдамдығынан артық өсіре алмайды. 1961 жылы Leo Breiman Келли бойынша бәс тігу ұзақ мерзімде айтарлықтай өзгеше кез келген стратегиядан озып шығатынын және белгіленген мақсатқа шамамен ең қысқа уақытта жететінін дәлелдеді.

Ойыншы шулы желі арқылы кеңес естіп, ойын қорының бір бөлігін тігеді.

Рулеткадағы Келли бойынша бәс тігу

ҚызылбәсҚызыл18 қызыл нөмірге тең төлемді бәс. Французша: rouge.Толығын оқу → үшін: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Бір нөмірге бәсбәсБір нөмірге бәсБір нөмірге бәс, 35:1 төлейді.Толығын оқу → үшін: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Әр стандартты бәс теріс Келли үлесін береді, өйткені әр бәс теріс артықшылыққа ие, ал өсуді оңтайландыратын бәс сомасы нөлге тең. Рулеткада Келли бойынша бәс тігу — казино артықшылығы бетінің айтқанын формалды түрде жеткізу: теріс күтілімді бәсті ойын қорын өсіретін мөлшерде тігу мүмкін емес.

бәсbpf* = (bp − q)/bмағынасы

қызыл, еуропалық118/37−0,027бәс тікпеңіз

қызыл, La Partage118/37 (+½ нөлде)−0,0135бәс тікпеңіз

бір нөмірге бәс351/37−0,00077бәс тікпеңіз

1/30 ұяшыққа бір нөмірге бәс (ауытқыған)351/30+0,0057ойын қорының 0,57%-ын тігіңіз

1/25 ұяшыққа бір нөмірге бәс351/25+0,0126ойын қорының 1,26%-ын тігіңіз

Келли қолданылған жер

Ауытқудан пайда тапқан ойыншыларда артықшылық та, бәс мөлшерін айқындау мәселесі де болды. Jagger, García-Pelayos және Eudaemons — бәрі өлшеген артықшылығына қанша тігу керегін шешуі тиіс еді: аз тігу артықшылықты босқа шығындайды, ал тым көп тігу артықшылық көрінбей тұрып күйреу қаупін тудырады. 30 айналымда 1 рет түсетін ұяшықжабдықҰяшықРотордағы 37 нөмірленген бөлімнің бірі. Басқаша: ойық, шыныаяқша.Толығын оқу → үшін Келли әр айналымда сол нөмірге ойын қорының 0,57%-ын тігу керек дейді: $10 000 болса, бір айналымға шамамен $57, әдеттегі өсім бір айналымға шамамен 0,054%, не ×1,7 — 1 000 айналымнан кейін. Орташа өсім бұдан екі есе, бір айналымға 0,11%, бірақ Келли сәтті бірнеше серия үлкейтетін орташа мәнге емес, әдеттегі ойын қорына бағытталады. Артықшылық бағасы белгісіз болғандықтан, әдетте жарты Келли таңдалады.

Бір нөмірге бәс үшін ойын қорының %-ы ретіндегі Келли бәсі, ұяшықтың нақты түсу жиілігі бойынша%

1/37 (әділ)

0% · бәс тікпеңіз

1/35

0,08%

1/33

0,26%

1/30

0,57%

1/25

1,26%

1/20

2,0%

012,0%

Үлкен ауытқудың өзі шағын бәсті талап етеді: төлем ұзақ, ал дисперсия жоғары.

Атақты рулетка ойыншылары Эвдемондар

Әдеттегі және орташа

Әдеттегі ойын қоры мен орташа ойын қорының арасы үлкен. 25 айналымда 1 рет түсетін, артықшылығы 44% ұяшықты алайық; бұл — Thorp өз құрылғысы үшін келтірген сан. Келли оған ойын қорының 1,26%-ын тігеді. 1 000 айналымнан кейін әдеттегі ойын қоры шамамен 11,5 есе өседі, ал сәтті аз ғана сериялар жоғары тартатын орташа ойын қоры шамамен 249 есе өседі. Келлиден артық тігу орташа мәнді көтеріп, әдеттегі нәтижені төмендетеді: Келли бәсінің екі есесінде әдеттегі ойын қоры тек екі еселенеді, ал Келли бәсінің екі жарым есесінде ол азаяды, дегенмен әр бәс әлі де 44% артықшылыққа ие. Аз тігу аз шығындатады: жарты бәс өсімнің шамамен төрттен үшін сақтайды.

бәс, Келли үлесібәс, ойын қорының %-ы1 000 айналымнан кейінгі әдеттегі ойын қоры

½0,63%× 6,7

11,26%× 11,5

1½1,89%× 7,4

22,51%× 2,2

2½3,14%× 0,38

33,77%× 0,04

25 айналымда 1 рет түсетін, 35-ке 1 төленетін бір ұяшық. Әдеттегі — медиана; e саны бір айналымдағы өсімнің 1 000 еселенген дәрежесіне шығарылған.

Артықшылық болжам болғанда

Келли артықшылық белгілі деп жорамалдайды. Үстелде ол бағаланады және баға әдетте тым жоғары болады. Epstein-нің Thorp-тың 44%-ына құрылған мысалында қос нөлідөңгелекНөлТең төлемді, дюжина не баған бәстерінің ешқайсысы жаппайтын жалғыз жасыл ұяшық; казино артықшылығының көзі. Сондай-ақ: бір нөл, 0.Толығын оқу → бар дөңгелектегі 1 225 айналымда 49 рет түскен нөмір бар: 25 айналымда 1 рет, 44% артықшылық, Келли бәсі 1,26%. Бірақ әділ қос нөлді дөңгелекте 38 нөмір бар, оның ең жиі түсетіні 1 225 айналымда 49 не одан көпке шамамен тоғыздың бірінде жетеді. Кез келген жазбадағы ең жиі нөмір — сәттілік көбірек көмектескені де, сондықтан шын ауытқыған ұяшықтың өзі жазбада шындығынан жақсырақ көрінеді: жеңімпаздың қарғысы. Егер бұл ұяшық шын мәнінде ауытқымаған болса, Келли бәсі орта есеппен 5,26% жоғалтатын жай бәс. Әдеттегі жауаптар — Келлидің бір бөлігін ғана тігу және артықшылық жаңа жазбада сақталғанша санауды жалғастыру («Дөңгелек ауытқуын қалай анықтауға болады» бөлімін қараңыз).

Артықшылығы бар адамдар

Артықшылықты білу оны жақсы пайдаланумен бірдей емес. Haghani мен Dewey (2016) 61 адамға тиынның елтаңбалы жағы 60% жағдайда түседі деп айтылған тиынға жарты сағат бойы тігу үшін әрқайсысына $25 берді; ұтыс $250-мен шектелді (ойыншылар шекке жеткенде ғана білді). Келли әр жолы ойын қорының 20%-ын елтаңба жағына тігу керек дейді, ал авторлар 10–20% тұрақты бәстер шекке шамамен 95% жағдайда жетеді деп бағалады. Оған ойыншылардың тек 21%-ы жетті. 28% күйреді, 61 адамның 18-і бір лақтыруға бәрін тікті, шамамен үштен бірі бастаған $25-тан төмен аяқтады, ал орташа төлемақшаТөлемҰтқан бәстің қайтарымы; қайтарылатын бәс сомасының үстінен «X-ке 1» түрінде айтылады.Толығын оқу → $91 болды. 61 адамның бесеуі ғана Келли критерийі туралы естіген. Артықшылық болса, бәс мөлшері оны сақтай алатыныңызды шешеді; әділ дөңгелектегідей артықшылық болмаса, ешбір мөлшер көмектеспейді.

Бір ойыншы бір лақтыруға бәрін тігеді, ал қасындағысы шағын үлесті тігеді.

Оның орнына нені қолдану керек

Артықшылықсыз мөлшерлеу — өсу мәселесі емес, бюджет мәселесі: бәс сомасы = сағатына бюджеттен және үстел қарқынынан туындайтын бір айналымға жұмсауға дайын сома (ойын қорын басқару беті). Келлидің кәдімгі ойыншыға берері — жауабының айқындығы: нөл. Нөлден артық тіккеніңіздің бәрі — формула оңтайландырмаған, өзіңіз таңдаған ойнау бағасы.

Бөлшек Келли және «ақшаны басқару» туралы ескерту

Бәс сайын ойын қорының бекітілген пайызын ұсынатын «рулеткаға арналған Келли» деп сатылатын жүйелер — бәс сомасы ұтылған сайын азаятын тұрақты бәс тігустратегияТұрақты бәс тігуӘр айналымда бірдей сома тігу. Барлық прогрессия салыстырылатын бастапқы деңгей.Толығын оқу →. Олар айналымныңақшаАйналым сомасыҚайта тігілген ұтыстарды қоса есептегенде, сессия не кезең бойы тігілген жалпы сома. Басқаша: айналым, әрекет.Толығын оқу → 2,70%-ын жоғалтады және бәс ұтылған сайын азаятындықтан, күйреуді екіталай емес, баяу етеді. Бұл бюджетті ұзаққа жеткізудің орынды тәсілі, бірақ бұл Келли емес: Келли тоқтауды айтар еді.

Тұрақты бәс тігу рулетка стратегиясы

Формула

f* = (b·p − q) / b

red: f* = −1/37 · straight up: f* = −1/1295

biased pocket at rate r: f* = (35r − (1 − r)) / 35

Сұрақтар

Келли рулеткаға бәс тігу керек деп айта ма?

Тек ауытқыған дөңгелектензертханаАуытқыған дөңгелекФизикалық ақаулары кейбір ұяшықтарға түсу ықтималдығын 1/37-ден жоғары ететін дөңгелек. Сирек кездеседі, тек мыңдаған жазылған айналымнан анықталады.Толығын оқу → өлшенген артықшылық не уақыт өлшеу құрылғысы болса. Әділ дөңгелекте емес.

Неліктен жарты Келли?

Өйткені артықшылық бағасында қате бар, ал артық тігу аз тігуден қымбатырақ. Жарты Келли дисперсияныңматематикаДисперсияНәтижелердің күтілетін мәннен қаншалықты кең таралатынын өлшеу. Бір нөмірлік бәсте жоғары, тең төлемді бәстерде төмен.Толығын оқу → төрттен бірінде өсімнің төрттен үшіне жуық мөлшерін береді.

Келли ойын қорын басқарумен бірдей ме?

Жоқ. Келли артықшылық болғанда өсімді оңтайландырады. Ойын қорын басқару ол болмағанда шығынды бақылайды.

Математикамен ойын

Әуелі бұларды өзіңіз шешіп көріңіз. Әр шешім жасырылған; дайын болғанда ашыңыз.

Торп пен Шеннонның болжау құрылғысы шамамен 44% артықшылық берді. Бір болжанған нөмірде Келли ойын қорыныңақшаОйын қорыОйынға арнап бөлінген жалпы сома. Ойын қорын басқару — оның бір бәске және бір сессияға қанша бөлігін қатерге тігуді шешу.Толығын оқу → 1,26%-ын тігуді айтады. Дәл сол 44% артықшылық бес көрші нөмірге жайылған бір бәсте болса ше?
Шешімді көрсету
Жауап Онда Келли ойын қорының 7,1%-ын айтады, ал ойын қоры шамамен алты есе жылдамырақ өседі: 1 000 бәсте шамамен 1,25 миллион есе, шамамен 11,5 есеге қарсы.
44% артықшылығы бар бір нөмірге бәсбәсБір нөмірге бәсБір нөмірге бәс, 35:1 төлейді.Толығын оқу → 0,04 ықтималдықпен ұтады, өйткені 36 × 0,04 = 1,44. Келли тігілімін артықшылықты коэффициентке бөлу арқылы табады: 0,44/35 = 1,26%. Бір бәстегі типтік өсу 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, сондықтан 1 000 бәс ойын қорын e^2,44 ≈ 11,5 есе көбейтеді.
Бір тігілімді бес нөмірге жайсаңыз, бәс 0,20 ықтималдықпен ұтып, 1-ге 36/5, яғни 6,2-ге 1 төлейді: 0,2 × 7,2 = 1,44 болғандықтан, артықшылық бәрібір 44%. Келли тігілімі 0,44/6,2 = 7,10%, ал бір бәстегі өсу 0,01404, шамамен 5,75 есе көп. 1 000 бәсте бұл e^14,04, шамамен 1,25 миллион.
Артықшылық бірдей; ауытқу кішірек. Бесеудің бірінде ұтатын бәс күйреу қаупінсіз ойын қорының үлкенірек үлесін көтере алады, ал Келли өсуі соны сыйлайды. Торп (1984) мысалды болжам ойыншылары неліктен секторларғадөңгелекСекторДөңгелектегі қатар орналасқан ұяшықтар доғасы; үстелдегі топтан өзгеше.Толығын оқу → тігетінін көрсету үшін қолданады. Іс жүзінде бес көршібәсКөршілерНөмір және дөңгелектегі оның екі жағындағы ұяшықтар; бес бір нөмірлік фишка.Толығын оқу → бір ең жақсы нөмірден сәл төмен артықшылық береді (қараңыз: Advantage Play).
Ойыншы әрқайсысы 37-нің 1-інің орнына 25-тің 1-інде түсетін екі көрші ұяшықжабдықҰяшықРотордағы 37 нөмірленген бөлімнің бірі. Басқаша: ойық, шыныаяқша.Толығын оқу → тапты. Ол араларындағы екі нөмірлік бәскебәсЕкі нөмірлік бәсЖанасқан екі нөмір, 17:1 төлейді.Толығын оқу → 17-ге 1 тіге ме, әлде әр нөмірге жеке-жеке бәс қоя ма? Келли қандай үлесті ұсынады және ойын қоры бір осындай ұяшықпен салыстырғанда қаншалық жылдам өседі?
Шешімді көрсету
Жауап Айырмасы жоқ: екі нөмірлік бәске ойын қорының 2,59%-ы не әр нөмірге 1,29%. Типтік ойын қоры 1 000 айналымда шамамен 155 есе өседі, бір ұяшықтағы 11,5 есеге қарсы.
Екі нөмірлік бәс ықтималдығыматематикаЫқтималдықНәтиженің мүмкіндігі; 0-ден 1-ге дейін не 0%-дан 100%-ға дейін. Бір нөмір: 1/37 = 2,70%.Толығын оқу → 2/25 = 0,08 болып ұтады және 17-ге 1 төлейді, сондықтан тігілген әр бірліккеақшаБірлікЖүйе не ойыншы жұмыс істейтін негізгі бәс сомасы. Прогрессиялар кез келген үстелде қолданылуы үшін бірліктермен сипатталады.Толығын оқу → 18 × 0,08 = 1,44 қайтарады: бір ауытқыған ұяшықтағыдай 44% артықшылық. Келли тігілімі 0,44/17 = 2,59%.
Әрқайсына 1,29%-дан екі бір нөмірге бәс дәл сондай нәтиже береді. Екі нөмірдің бірі түскенде бір фишкаақшаФишкаБәс жасау үшін үстелге қойылатын, бекітілген соманы білдіретін жетон. Басқаша атауы: чек.Толығын оқу → 35-ке 1 ұтады, екіншісі ұтылады; таза нәтиже екі нөмірлік бәс төлейтіндей ойын қорының 34 × 1,29% = 44%-ы; ешқайсысы түспесе, екеуі де ұтылады.
Бір айналымға өсу 0,00505, бір ұяшықтағы 0,00244-ке қарсы; сондықтан 1 000 айналымда типтік ойын қоры e^5,046 ≈ 155 есе, e^2,44 ≈ 11,5 есе орнына өседі. Екі жақсы нөмір бір жақсы нөмірдің екі есесінен әлдеқайда құнды, сондықтан ауытқуды пайдаланушылар нөмір топтарына тігеді. Торп (1984) дәл сол салыстыруды талдайды.

Күлкілі үзіліс

$Өсуді оңтайландыратын рулетка бәсі — бәрі білетін сан.$

Өсуді оңтайландыратын рулетка бәсі — бәрі білетін сан.

Дереккөздер

Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.” Bell System Technical Journal 35(4), 1956.
Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.” Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1-т., 1961.
Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.” Review of the International Statistical Institute 37(3), 1969.
Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling. Gambling Times / Lyle Stuart, 1984.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.
Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed. CRC Press, 2021.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. 13-тарау, рулетка.
Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.” Жұмыс құжаты, қазан 2016; SSRN 2856963, arXiv:1701,01427.

2026-09-28 күні тексерілдіүлгі: еуропалық, бір нөләдістеме ↗дереккөздер ↗